Ontem, 15/07/2025, por meio do artigo de título “Softwares Algébricos no ensino do Cálculo”, fiz rememorar o capítulo da obra “Tecnologia na Construção Civil e Matemática Aplicada” (ISBN: 85-72920-77-3), no qual está apresentado meu artigo intitulado “Gráficos em 2D e 3D através do MAPLE V”, lá publicado há mais de duas décadas atrás pela Editora Champagnat.
Mas, naquele mesmo livro existe um segundo artigo meu publicado, também, como capítulo na seção “Matemática Aplicada”. Assim, aproveito para relembrar o particular texto em referência intitulado “Dominação em Matemática”, desenvolvido nas páginas de 119 até 133.
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DIAS, C. M. C. - 2025
A partir de meus estudos sobre a “Lógica da Teoria dos Conjuntos” me deparei com a instigante “Relação de Dominação em Matemática”; a qual, para a maioria, é totalmente desconhecida, embora seja, apenas, essencial para se demonstrar Teoremas Fundamentais da Teoria dos Conjuntos como são os casos (particulares) das comprovações formais do “Teorema de Schröder-Bernstein” e do “Teorema de Cantor”.
No artigo trato tópicos relacionados com a “Relação de Dominação em Matemática” e com base nela demonstro o “Teorema de Schröder-Bernstein” e o “Teorema de Cantor”. Apresento, também, questões gerais objetivas sobre os Números Cardinais e os Números Ordinais, bem como sobre Conjuntos Infinitos.
Embora seja um assunto “elementar” (fundamental) desde aquela época, ainda atualmente parece envolver alguns mistérios. Todavia, é básico: os números naturais podem ser tomados como “régua” para medir o “tamanho" dos conjuntos, especialmente os conjuntos infinitos.
Os números naturais (1, 2, 3, ...) podem ser usados para comparar o "tamanho" de conjuntos, incluindo conjuntos infinitos. Tal comparação é feita mediante a noção de correspondência biunívoca, onde cada elemento de um conjunto pode ser associado a um único elemento de outro conjunto, e vice-versa. Se dois conjuntos, porém, podem ser colocados em correspondência biunívoca, eles têm o mesmo "tamanho".
A Relação de Dominação em Matemática estabelece que existe uma função injetora de A em B; o que, em termos mais simples, significa afirmar que o conjunto A tem "no máximo" o mesmo número de elementos que o conjunto B. Mas, se existe uma bijeção entre A e B, diz-se que os conjuntos são equipotentes.
A demonstração do “Teorema de Schröder-Bernstein” evolve um processo um tanto intrincado, não podendo ser classificado como “trivial”; entretanto afirma que se um conjunto A domina um conjunto B ao mesmo tempo que o conjunto B domina o conjunto A, então os conjuntos A e B são equipotentes. Assim, se existe uma função injetora de A em B e uma função injetora de B em A, então existe uma função bijetora entre A e B. Minha demonstração, também, em nada trivial, considera uma partição dos conjuntos envolvidos de forma a ser possível a construção da bijeção desejada.
Carlos Magno Corrêa Dias
16/07/2025