Os conceitos de “Corretude” e “Completude” são fundamentais na Lógica Matemática e na Metalógica, que se aplicam a Sistemas Formais, incluindo aqueles que descrevem estruturas ou Sistemas Algébricos.
Enquanto a Lógica constrói argumentos válidos dentro de um Sistema, a Metalógica analisa as propriedades, estruturas e fundamentos do correspondente Sistema. A Metalógica trata da “Metateoria da Lógica. Na Lógica de Primeira Ordem, a Metalógica ajuda a entender “se o Sistema é capaz de provar todas as verdades matemáticas que ele expressa”. “Se a Lógica é a ferramenta que se usa para analisar argumentos, a Metalógica é a área que analisa a própria ferramenta”.
Para tratar da “Corretude” e da “Completude” ministrei, em 20 de setembro de 2010, na Sede Central do Câmpus Curitiba da TECNOLÓGICA (UTFPR - Universidade Tecnológica Federal do Paraná), a Palestra Técnica intitulada “Completude e Corretude de Sistemas Algébricos”.
DIAS, Carlos Magno Corrêa - 2025
Como proponente, organizador e coordenador do correspondente projeto da palestra em referência me preocupei, primeiramente, em distinguir os termos “Corretude” (em inglês “Soundness”) e “Completude” (em inglês “Completeness”).
Assim, evidenciei que a ‘Corretude’ se relaciona com garantia de que o sistema formal não prova nada que seja falso; ou seja, “tudo o que o sistema formal prova como teorema é, de fato, semanticamente válido (verdadeiro em todas as interpretações ou modelos consistentes com o sistema). Formalmente, tem-se, então, que “se uma fórmula é um teorema do sistema formal, então é semanticamente válida” de forma que a “Corretude” garante que o processo de dedução (prova) é confiável e preserva a verdade.
Já a “Completude” é a garantia de que o sistema formal é capaz de provar tudo que é verdadeiro em seu domínio; ou seja, “se uma fórmula é semanticamente válida (verdadeira em todas as interpretações), o sistema formal tem as ferramentas (axiomas e regras de inferência) para prová-la como um teorema”. Tem-se que “se uma fórmula é semanticamente válida, então é um teorema do sistema formal”. A “Completude” garante que o sistema de dedução é expressivo o suficiente para capturar todas as verdades do sistema.
A “Corretude” e a “Completude” são os pilares que conectam a sintaxe (o que se prova) com a semântica (o que é verdade) em qualquer Sistema Formal.
Na sequência levei em consideração onde são aplicados em Sistemas Algébricos pondo em evidência os Sistemas Formais da Lógica de Primeira Ordem, tais como a Lógica Proposicional e/ou a Lógica de Predicados.
Em síntese, a “Completude” é a propriedade dual da “Corretude”. “Um ‘Sistema Correto’ prova apenas verdades”. Um ‘Sistema Completo’ prova todas as verdades (que são deriváveis)”. Um Sistema ideal é Correto e Completo de forma que “tudo que ele prova é verdade, e tudo que é verdade pode ser provado”.
Carlos Magno Corrêa Dias
28/09/2025