Fui o proponente, organizador, coordenador e ministrante da Palestra Técnica intitulada “Teoremas da Incompletude Matemática”, apresentada na Sede Central do Câmpus Curitiba da TECNOLÓGICA (UTFPR - Universidade Tecnológica Federal do Paraná), em 12/09/2010, em um total de 2 (duas) horas.
DIAS, Carlos Magno Corrêa - 2025
Na conferência em pauta fiz observar que os “Teoremas da Incompletude Matemática” são, na verdade, os Teoremas da Incompletude de Gödel, os quais, fundamentais em Lógica Matemática, foram publicados por Kurt Friedrich Gödel (1906-1978) em 1931, “estabelecendo limitações inerentes à capacidade de qualquer sistema axiomático formal consistente provar todas as verdades em seu domínio”. “Não existe um conjunto completo e consistente de axiomas a partir do qual toda a Matemática possa ser deduzida”.
Assim, demonstra-se que, em qualquer sistema formal consistente e recursivamente enumerável (o que significa que seus axiomas e regras de inferência podem ser listados por um algoritmo) que seja poderoso o suficiente para formalizar a Aritmética dos Números Naturais, haverá sempre proposições de valor lógico Verdade que não podem ser provadas (nem refutadas) dentro do próprio sistema. Em outras palavras: “existem verdades matemáticas que o sistema é incapaz de demonstrar; sendo, então, o sistema incompleto”.
Mas, como extensão do exposto precedentemente, tem-se, também, que um sistema formal consistente que satisfaça as condições anteriores “não pode provar sua própria consistência dentro de si mesmo”; ou seja: “para demonstrar que um Sistema Matemático (que inclui a Aritmética) não contém contradições (é “consistente”) se faz necessário usar um sistema formal ainda mais forte (que contenha mais axiomas ou regras) que não pode, por sua vez, provar sua própria consistência”; quer dizer: “a garantia definitiva de que um sistema é consistentemente não pode vir de dentro dele”.
“Nenhuma teoria formal suficientemente rica pode ser completa e consistente ao mesmo tempo. Se uma teoria é capaz de expressar a Aritmética básica, ela será incompleta, o que significa que sempre haverá afirmações verdadeiras que não podem ser demonstradas”. “Para que um sistema formal seja consistente (que não contenha contradições), é necessário que sua consistência não possa ser provada dentro do próprio sistema”.
Então, os Sistemas Lógicos são limitados pelos “Teoremas da Incompletude Matemática” e, portanto, incapazes de alcançar toda a intuição humana.
"Esta afirmação não pode ser provada neste sistema". “Se essa afirmação for verdadeira, ela não pode ser provada dentro do sistema (o que prova a incompletude). Se ela for falsa, então pode ser provada, mas isso levaria a uma contradição, mostrando que o sistema é inconsistente”.
Fica, então, estabelecido, “limites intrínsecos à capacidade dos sistemas formais em capturar toda a verdade matemática”.
Carlos Magno Corrêa Dias
26/09/2025