É sabido que:
(a) 2 - 2 = 3 - 3 pois, obviamente, 2 - 2 = 0 e 3 - 3 = 0. Claramente, então, 0 = 0.
(b) É correto afirmar, também, que 1 - 1 = 0.
(c) Assim, pode-se dizer que 2 - 2 = 2 . (1-1) = 0
e que 3 - 3 = 3 . (1-1) = 0; colocando-se, respectivamente, 2 e 3 em evidência.
(d) Logo, segue-se que: 2 . (1-1) = 3 . (1-1) = 0, pois:
2 . 0 = 0 e 3 . 0 = 0 e, óbvio, 0 = 0.
(e) Então, tem-se que: 2 . (1-1) = 2 . 0 = 0 = 3 . (1-1) = 3 . 0 = 0.
(f) É sabido, também, que se A = B, então A.C = B.C; quando C/C = 1.
(g) Portanto, multiplicando-se ambos os lados da igualdade por C, vem que:
2 . (1-1) . C = 3 . (1-1) . C = 0. Logo, se C = 1/(1-1), então, da linha “e” resulta, claramente, que:
2. (1-1) . [ 1/(1-1) ] = 3 . (1-1) . [ 1/(1-1) ] =
= 2. [ (1-1)/(1-1) ] = 3 . [ (1-1)/(1-1) ].
(h) Tomando-se, então, o considerado na linha “f”, resultaria afirmar que
(1-1)/(1-1) = 1 e, portanto, ter-se-ia, invariavelmente, que:
2 . ( 1 ) = 3 . ( 1 ); ou seja: 2 . 1 = 3 . 1.
(i) Mas, 2 . 1 = 2, bem como 3 . 1 = 3.
Assim, nas condições em questão, chegar-se-ia ao resultado “perturbador”: 2 = 3.
Como pode?
Será um “paradoxo”? Ou, será uma “antinomia”? Existe algum "erro"?
Seja como for, se gerou a contradição 2 = 3.
DIAS, C. M. C. - 2025
Quem foi meu Aluno bem o sabe as razões de semelhante resultados, entendendo “bem” porque as contradições são juízas (lógicas) nas disputas entre antinomias e paradoxos. Todavia, deve ser claro, lógico, também, que paradoxos e antinomias não brigam entre si, embora possam compartilhar proposições contraválidas (contradições).
DIAS, C. M. C. - 2025
No capítulo VIII (Paradoxos e Antinomias) do meu livro “Lógica matemática: introdução ao cálculo proposicional” (ISBN: 978-85-88925-15-1) apresento compêndio contendo algumas considerações sobre minha particular posição sobre os PARADOXOS e as ANTINOMIAS.
Carlos Magno Corrêa Dias
10/01/2025